Nilai Mutlak (absolute value)

Konsep limit sangat berguna dalam matematika, khususnya dalam kalkulus. Salah satu cara terbaik untuk membayangkan nilai mutlak adalah nilai mutlak sebagai jarak. Untuk |x| artinya jarak antara x dengan titik asal. Demikian juga untuk |x–a| adalah jarak antara x dengan a. Secara umum Nilai Mutlak didefinisikan sebagai berikut.

Definisi :

Nilai Mutlak dari bilangan real a, dinotasikan dengan |a| dan didefinisikan sebagai berikut

|a| :=

Agar lebih dimengerti, simak contoh berikut :

1. |5| = 5
   
2. |0| = 0
   
3. |-8| = 8
   

Dari Definisi diatas, dapat disimpulkan bahwa |a| 0 untuk semua a , dan |a| = 0 jika dan hanya jika a = 0. Juga |-a| = |a| untuk setiap a .

Teorema :

(a) |ab| = |a||b| untuk setiap a, b

(b) |a|² = a² untuk setiap a, b

(c) jika c 0 maka |a| c jika dan hanya jika –c a c

(d) -|a| a |a| untuk setiap a, b

Bukti :

(a) Untuk membuktikan bagian (a) ini kita gunakan lima kasus, yaitu

untuk a atau b = 0, jelas berlaku kedua sisi sama dengan 0

untuk a > 0, b > 0, maka ab > 0, sehingga berlaku |ab| = ab = |a||b|

untuk a > 0, b < 0, maka ab < 0, sehingga berlaku |ab| = = -ab = a(-b) = |a||b|

untuk a < 0, b > 0, maka ab < 0, sehingga berlaku |ab| = -ab = (-a)b |a||b|

untuk a < 0, b < 0, maka ab > 0, sehingga berlaku |ab| = |(-a)(-b)| = (-a)(-b) = ab = |a||b|

(b) karena a² 0 maka berlaku a² = |a²| = |aa| = |a||a| = |a|²

(c) jika |a| c maka berdasarkan definisi Nilai Mutlak berlaku a c dan -a c, ini ekuivalen dengan –a c a. Kemudian jika –a c a maka berlaku a c dan -a c sehingga |a| c.

(d) dengan memperhatikan pembuktian pada bagian (c). Ambil c = |a| sehingga |a| |a| dan berlaku a |a| dan -a |a|, hal ini ekivalen dengan –a |a| a

Ketaksamaan Segitiga (Triangle Inequality)

Jika a, b maka |a + b| |a| + |b|

Bukti :

Dari Teorema (d) kita punya -|a| a |a| dan -|b| b |b|. Jumlahkan kedua ketaksamaan tersebut sehingga diperoleh –(|a| + |b|) a + b |a| + |b|. Berdasarkan Teorema (c) diperoleh |a + b| |a| + |b|

Akibat (Corollary)

Jika a, b maka

(a) ||a| – |b|| |a – b|

(b) |a – b| |a| + |b|

Bukti :

(a) ambil a = a – b + b, maka berdasarkan Ketaksamaan Segitiga diperoleh |a| = |(a – b) + b| |a – b| + |b|. Kemudian kurangkan kedua ruas dengan |b| sehingga diperoleh |a| – |b| |a – b|.Sekarang pandang b = b – a + a, dengan Ketaksamaan Segitiga diperoleh |b| = |b – a + a| |b – a| + |a|. Kemudian kurangkan dengan |a| sehingga diperoleh |b| – |a| |b – a|. Kalikan kedua ruas dengan (-1) sehingga menjadi –(|b| – |a|) -|b – a|. Ketaksamaan tersebut ekivalen dengan -|a – b| |a| – |b|. Dari dua ketaksamaan tersebut, berdasarkan Teorema (c) dapat disimpulkan ||a| – |b|| |a – b|.

(b) Dengan memandang Ketaksamaan Segitiga dan mensubstitusi –b, maka diperoleh |a + (-b)| |a| + |-b|. Karena |-b| = |b|, maka berakibat |a – b| |a| + |b|

Kemudian jika –a c a maka berlaku a c dan -a c sehingga |a| c