Konsep
limit sangat berguna dalam matematika, khususnya dalam kalkulus. Salah
satu cara terbaik untuk membayangkan nilai mutlak adalah nilai mutlak
sebagai jarak. Untuk |x| artinya jarak antara x dengan titik asal.
Demikian juga untuk |x–a| adalah jarak antara x dengan a. Secara umum
Nilai Mutlak didefinisikan sebagai berikut.
Definisi :
Nilai Mutlak dari bilangan real a, dinotasikan dengan |a| dan didefinisikan sebagai berikut
|a| := 
Agar lebih dimengerti, simak contoh berikut :
-
|5| = 5
-
|0| = 0
-
|-8| = 8
Dari Definisi diatas, dapat disimpulkan bahwa |a|
0 untuk semua a
, dan |a| = 0 jika dan hanya jika a = 0. Juga |-a| = |a| untuk setiap a
.
Teorema :
(a) |ab| = |a||b| untuk setiap a, b 
(b) |a|2 = a2 untuk setiap a, b 
(c) jika c
0 maka |a|
c jika dan hanya jika –c
a
c
(d) -|a|
a
|a| untuk setiap a, b 
Bukti :
(a) Untuk membuktikan bagian (a) ini kita gunakan lima kasus, yaitu
untuk a atau b = 0, jelas berlaku kedua sisi sama dengan 0
untuk a > 0, b > 0, maka ab > 0, sehingga berlaku |ab| = ab = |a||b|
untuk a > 0, b < 0, maka ab < 0, sehingga berlaku |ab| = = -ab = a(-b) = |a||b|
untuk a < 0, b > 0, maka ab < 0, sehingga berlaku |ab| = -ab = (-a)b |a||b|
untuk a < 0, b < 0, maka ab > 0, sehingga berlaku |ab| = |(-a)(-b)| = (-a)(-b) = ab = |a||b|
(b) karena a2
0 maka berlaku a2 = |a2| = |aa| = |a||a| = |a|2
(c) jika |a|
c maka berdasarkan definisi Nilai Mutlak berlaku a
c dan -a
c, ini ekuivalen dengan –a
c
a. Kemudian jika –a
c
a maka berlaku a
c dan -a
c sehingga |a|
c.
(d) dengan memperhatikan pembuktian pada bagian (c). Ambil c = |a| sehingga |a|
|a| dan berlaku a
|a| dan -a
|a|, hal ini ekivalen dengan –a
|a|
a
Ketaksamaan Segitiga (Triangle Inequality)
Jika a, b
maka |a + b|
|a| + |b|
Bukti :
Dari Teorema (d) kita punya -|a|
a
|a| dan -|b|
b
|b|. Jumlahkan kedua ketaksamaan tersebut sehingga diperoleh –(|a| + |b|)
a + b
|a| + |b|. Berdasarkan Teorema (c) diperoleh |a + b|
|a| + |b|
Akibat (Corollary)
Jika a, b
maka
(a) ||a| – |b||
|a – b|
(b) |a – b|
|a| + |b|
Bukti :
(a) ambil a = a – b + b, maka berdasarkan Ketaksamaan Segitiga diperoleh |a| = |(a – b) + b|
|a – b| + |b|. Kemudian kurangkan kedua ruas dengan |b| sehingga diperoleh |a| – |b|
|a – b|.Sekarang pandang b = b – a + a, dengan Ketaksamaan Segitiga diperoleh |b| = |b – a + a|
|b – a| + |a|. Kemudian kurangkan dengan |a| sehingga diperoleh |b| – |a|
|b – a|. Kalikan kedua ruas dengan (-1) sehingga menjadi –(|b| – |a|)
-|b – a|. Ketaksamaan tersebut ekivalen dengan -|a – b|
|a| – |b|. Dari dua ketaksamaan tersebut, berdasarkan Teorema (c) dapat disimpulkan ||a| – |b||
|a – b|.
(b) Dengan memandang Ketaksamaan Segitiga dan mensubstitusi –b, maka diperoleh |a + (-b)|
|a| + |-b|. Karena |-b| = |b|, maka berakibat |a – b|
|a| + |b|
Kemudian jika –a